有限元分析之單位轉換
有限元分析之單位轉換
大多數有限元計算程序都不規定所使用的物理量的單位，不同問題可以使用不同的單位，只要在一個問題中各物理量的單位統一就可以。但是，由于在實際工程問題中可能用到多種不同單位的物理量，如果只是按照習慣采用常用的單位，表面上看單位是統一的，實際上單位卻不統一，從而導致錯誤的計算結果。
比如，在結構分析中分別用如下單位：長度 – m；時間 – s；質量 – kg；力 - N；壓力、應力、彈性模量等 – Pa，此時單位是統一的。但是如果將壓力單位改為 MPa，保持其余單位不變，單位就是不統一的；或者同時將長度單位改為 mm，壓力單位改為 MPa，保持其余單位不變，單位也是不統一的。由此可見，對于實際工程問題，我們不能按照手工計算時的習慣來選擇各物理量的單位，而是必須遵循一定的原則。
物理量的單位與所采用的單位制有關。所有物理量可分為基本物理量和導出物理量，在結構和熱計算中的基本物理量有：質量、長度、時間和溫度。導出物理量的種類很多，如面積、體積、速度、加速度、彈性模量、壓力、應力、導熱率、比熱、熱交換系數、能量、熱量、功等等，都與基本物理量之間有確定的關系。基本物理量的單位確定了所用的單位制，然后可根據相應的公式得到各導出物理量的單位。具體做法是：首先確定各物理量的量綱，再根據基本物理量單位制的不同得到各物理量的具體單位。
基本物理量及其量綱：
質量 m; 長度 L; 時間 t; 溫度 T。
導出物理量及其量綱：
速度： v = L / t; 加速度： a = L / t 2;
面積： A = L 2; 體積： V = L 3;
密度： ρ= m / L 3;
力： f = m · a = m · L / t 2;
力矩、能量、熱量、焓等： e = f · L = m · L 2 / t 2;
壓力、應力、彈性模量等： p = f / A = m / (t 2 · L) ;
熱流量、功率： ψ= e / t = m · L 2 / t 3;
導熱率： k =ψ/ (L · T) = m · L / (t 3 · T);
比熱： c = e / (m · T) = L 2 / (t 2 · T);
熱交換系數： Cv = e / (L 2 · T · t) = m / (t 3 · T)
粘性系數： Kv = p · t = m / (t · L) ;
粘性阻尼系數： C = f / v = m / t ; (力與速度成正比)
結構阻尼系數： Kc = f / L = kg / t 2 ; (力與位移成正比)
熵： S = e / T = m · l 2 / (t 2 · T);
質量熵、比熵： s = S / m = l 2 / (t 2 · T);
在選定基本物理量的單位后，可導出其余物理量的單位，可以選用的單位制很多，下面舉兩個常用的例子。
1 基本物理量采用如下單位制：
質量 m – kg； 長度 L – mm； 時間 – S； 溫度 – K (溫度 K與 C 等價)。
各導出物理量的單位可推導如下，同時還列出了與 kg-m-S 單位制或一些常用單位的關系：
速度： v = L / t = mm / S = 10-3 m / S; 加速度： a = L / t 2 = mm / S 2 = 10-3 m / S 2;
面積： A = L 2 = mm 2 = 10-6 m 2; 體積： V = L 3 = mm 3 = 10-9 m 3;
密度： ρ= m / L 3 = kg / mm 3 = 10-9 kg / m 3 = 10-6 g / cm 3;
力： f = m · L / t 2 = kg · mm / S 2 = 10 –3 kg · m / S 2 = mN (牛);
力矩、能量、熱量、焓等： e = m · L 2 / t 2 = kg · mm 2 / S 2 = 10 –6 kg · m 2 / S 2 = μ J (焦耳);
壓力、應力、彈性模量等： p = m / (t 2 · L) = kg / (S 2 · mm) = 10 3 kg / (S 2 · m) = kPa (帕);
熱流量、功率： ψ= m · L 2 / t 3 = kg · mm 2 / S 3 = 10 –6 kg · m 2 / S 3 = μ w (瓦);
導熱率： k = m · L / (t 3 · T) = kg · mm / (S 3 · K) = 10 –3 kg · m / (S 3 · K);
比熱： c = L 2 / (t 2 · T) = mm 2 / (S 2 · K) = 10 –6 m 2 / (S 2 · K);
熱交換系數： Cv = m / (t 3 · T) = kg / (S 3 · K);
粘性系數： Kv = m / (t · L) = kg / (S · mm) = 10 3 kg / (S · mm);
粘性阻尼系數： C = f · t / L = kg / s ;
結構阻尼系數： Kc = f / L = kg / s 2 ;
熵： S = m · L 2 / (t 2 · T) = kg · mm 2 / (S 2 · K ) = 10 -6 kg · m 2 / (S 2 · K );
質量熵、比熵： s = L2 / (t 2 · T) = mm 2 / (S 2 · K ) = 10 -6 m 2 / (S 2 · K );
2 基本物理量采用如下單位制：
質量 m – g； 長度 L – μm (10 6 m)； 時間 – mS (10 –3 S)； 溫度 – K (K與 C 等價)。
各導出物理量的單位可推導如下，同時還列出了與 kg-m-S 單位制或一些常用單位的關系：
速度： v = L / t = μm / mS = 10-3 m / S; 加速度： a = L / t 2 = μm / mS 2 = m / S 2;
面積： A = L 2 = μm 2 = 10-12 m 2; 體積： V = L 3 = μm 3 = 10-18 m 3;
密度： ρ= m / L 3 = g / μm 3 = 10-21 kg / m 3 = 10-12 g / cm 3;
力： f = m · L / t 2 = g · μm / mS 2 = 10 –3 kg · m / S 2 = mN (牛);
力矩、能量、熱量、焓等： e = m · L 2 / t 2 = g · μm 2 / mS 2 = 10 –9 kg · m 2 / S 2 = 10 –9 J (焦耳);
壓力、應力、彈性模量等： p = m / (t 2 · L) = g / (mS 2 · μm) = 10 9 kg / (S 2 · m) = 10 9 Pa (帕) = GPa;
熱流量、功率： ψ= m · L 2 / t 3 = g · μm 2 / mS 3 = 10 –6 kg · m 2 / S 3 = 10 –6 w (瓦);
導熱率： k = m · L / (t 3 · T) = g · μm / (mS 3 · K) = kg · m / (S 3 · K);
比熱： c = L 2 / (t 2 · T) = μm 2 / (mS 2 · K) = 10 –6 m 2 / (S 2 · K);
熱交換系數： Cv = m / (t 3 · T) = g / (mS 3 · K) = 10 3 kg / (S 3 · K);
粘性系數： Kv = m / (t · L) = g / (mS · μm) = 10 6 kg / (S · mm);
粘性阻尼系數： C = f · t / L = g / s = 10 -3 kg / s;
結構阻尼系數： Kc = f / L = g / s 2 = 10 -3 kg / s 2 ;
熵： S = m · L 2 / (t 2 · T) = g · μm 2 / (mS 2 · K ) = 10 -9 kg · m 2 / (S 2 · K );
質量熵、比熵： s = L2 / (t 2 · T) = μm 2 / (mS 2 · K ) = 10 -6 m 2 / (S 2 · K );
由此可見，掌握了單位之間變換的方法，就可以根據自己的需要來選擇合適的單位制。更多的例子見表1。表2給出了幾種單位制與 kg-m-S 單位制之間的換算因子。
表1 不同單位制的物理量單位
序 號 |
參數名 |
單位量綱 |
Kg-m-s 單 位 制 |
Kg-mm-s 單 位 制 |
T-mm-s 單 位 制 |
g-mm-s 單 位 制 |
1 |
長度L |
L |
m |
mm (10 -3 m) |
mm (10 -3 m) |
mm (10 -3 m) |
2 |
質量M |
M |
Kg |
Kg |
T (10 3 Kg) |
g (10 -3 Kg) |
3 |
時間t |
t |
s |
s |
s |
s |
4 |
溫度T |
T |
K |
K |
K |
K |
5 |
面積A |
L 2 |
m 2 |
mm 2 (10 -6 m 2) |
mm 2 (10 -6 m 2) |
mm 2 (10 -6 m 2) |
6 |
體積V |
L 3 |
m 3 |
mm 3 (10 -9 m 3) |
mm 3 (10 -9 m 3) |
mm 3 (10 -9 m 3) |
7 |
力F |
M · L / t 2 |
N (牛) =Kg · m / s 2 |
Kg · mm / s 2 (10 -3 N) |
T · mm / s 2 (N) |
g · mm / s 2 (10 -6 N) |
8 |
密度r |
M / L 3 |
Kg / m 3 (10 -3 g / cm 3) |
Kg / mm 3 (10 6 g / cm 3) |
T / mm 3 (10 9 g / cm 3) |
g / mm 3 (10 3 g / cm 3) |
9 |
能量、焓、 熱量 |
M · L 2 / t 2 |
J (焦耳) = N · m = Kg · m 2 / S 2 |
Kg · mm 2 / S 2 (10 -6 J) |
T · mm 2 / S 2 (10 -3 J) |
g · mm 2 / S 2 (10 -9 J) |
10 |
功率、熱流量 |
m · L 2 / t 3 |
w (瓦) = J / S = kg · m 2 / S 3 |
kg · mm 2 / S 3 (10 –6 w) |
T · mm 2 / S 3 (10 –3 w) |
g · mm 2 / S 3 (10 –9 w) |
11 |
壓力、應力、模量 |
M / (t 2 · L) |
Pa = N / m 2 = Kg / (s 2 · m) |
Kg / (s 2 · mm) (kPa) |
T / (s 2 · mm) (MPa) |
g / (s 2 · mm) (Pa) |
12 |
導熱率k |
M · L / (t 3 · K) |
J / (m · s · K) = (Kg · m / (s 3 · K)) |
Kg · mm / (s 3 · K) (10 -3 Kg · m / (s 3 · K)) |
T · mm / (s 3 · K) (Kg · m / (s 3 · K)) |
g · mm / (s 3 · K) (10 -6 Kg · m / (s 3 · K)) |
13 |
比熱c |
L 2 / (t 2 · K) |
J / (Kg · K) = (m 2 / (s 2 · K)) |
mm 2 / (s 2 · K ) (10 -6 m 2 / (s 2 · K ) ) |
mm 2 / (s 2 · K ) (10 -6 m 2 / (s 2 · K ) ) |
mm 2 / (s 2 · K ) (10 -6 m 2 / (s 2 · K ) ) |
14 |
體熱源h |
M / (t 2 · L) |
J / m 3 = (Kg / (s 2 · m)) |
Kg / (s 2 · mm) (10 3 Kg / (s 2 · m) ) |
T / (s 2 · mm) (10 6 Kg / (s 2 · m) ) |
g / (s 2 · mm) (1.0 Kg / (s 2 · m) ) |
15 |
換熱 系數 Cv |
M / (t 3 · K) |
J / (m 2 · s · K) = (Kg / (s 3 · K)) |
Kg / (s 3 · K) (Kg / (s 3 · K)) |
T / (s 3 · K) (10 3 Kg / (s 3 · K)) |
g / (s 3 · K) (10 -3 Kg / (s 3 · K)) |
16 |
粘性 系數 Kv |
M / (L · t) |
Kg / (m · s) |
Kg/(mm · s) (10 3 Kg /(m · s) ) |
T / (mm · s) (10 6 g / (m · s) ) |
g / (mm · s) (1.0 g / (m · s) ) |
17 |
熵S |
M · L 2 / (t 2 · K) |
J / K = (Kg · m 2 / S 2 · K) |
Kg · mm 2 / S 2 · K (10 -6 Kg · m 2 / S 2 · K) |
T · mm 2 / S 2 · K (10 -3 Kg · m 2 / S 2 · K) |
g · mm 2/S 2 · K (10 -9 Kg · m 2 / S 2 · K) |
18 |
比熵s 質量熵 |
L 2 / (t 2 · K) |
J / (Kg · K ) = (m 2 / S 2 · K) |
mm 2 / S 2 · K (10 -6 m 2 / S 2 · K) |
mm 2 / S 2 · K (10 -6 m 2 / S 2 · K) |
mm 2 / S 2 · K (10 -6 m 2 / S 2 · K) |
表2 不同單位制的物理量與Kg-m-s單位制的換算因子[注]
序 號 |
參數名 |
公制單位 (Kg-m-s單位) |
其它單位轉換到Kg-m-s 單位制 |
kg-m-s單位轉換到Kg-mm-s單位制 |
kg-m-s單位轉換到T-mm-s單位制 |
kg-m-s單位轉換到g-mm-s單位制 |
1 |
長度 |
L m |
Kg-mm-s數值 · 10 -3 |
Kg-m-s數值 · 10 3 |
Kg-m-s數值 · 10 3 |
Kg-m-s數值 · 10 3 |
2 |
質量 |
M Kg |
g-cm-s數值 · 10 3 |
Kg-m-s數值 · 1.0 |
Kg-m-s數值 · 10 -3 |
Kg-m-s數值 · 10 3 |
3 |
時間 |
t s |
Kg-mm-s數值 · 1.0 |
Kg-m-s數值 · 1.0 |
Kg-m-s數值 · 1.0 |
Kg-m-s數值 · 1.0 |
4 |
溫度 |
T K |
Kg-mm-s數值 · 1.0 |
Kg-m-s數值 · 1.0 |
Kg-m-s數值 · 1.0 |
Kg-m-s數值 · 1.0 |
5 |
面積 |
L 2 m 2 |
Kg-mm-s數值 · 10 -6 |
Kg-m-s數值 · 10 6 |
Kg-m-s數值 · 10 6 |
Kg-m-s數值 · 10 6 |
6 |
體積 |
L 3 m 3 |
Kg-mm-s數值 · 10 -9 |
Kg-m-s數值 · 10 9 |
Kg-m-s數值 · 10 9 |
Kg-m-s數值 · 10 9 |
7 |
力 |
M · L / t 2 N=Kg · m / s 2 |
Kg-mm-s數值 · 10 -3 |
Kg-m-s數值 · 10 3 |
Kg-m-s數值 · 1.0 |
Kg-m-s數值 · 10 6 |
8 |
密度 |
M / L 3 Kg / m 3 |
g-cm-s數值 · 10 3 |
g-cm-s數值 · 10 -6 |
g-cm-s數值 · 10 -9 |
g-cm-s數值 · 10 -3 |
9 |
能量、焓 熱流 |
M · L 2 / t 2 J=Kg · m 2 / s 2 |
Kg-mm-s數值 · 10 -6 |
Kg-m-s數值 · 10 6 |
Kg-m-s數值 · 10 3 |
Kg-m-s數值 · 10 9 |
10 |
功率、熱流量 |
m · L 2 / t 3 w = kg · m 2 /S 3 |
Kg-mm-s數值 · 10 -6 |
Kg-m-s數值 · 10 6 |
Kg-m-s數值 · 10 3 |
Kg-m-s數值 · 10 9 |
11 |
壓力、應力、模量 |
M / (t 2 · L) Pa=Kg/(s 2 · m) |
Kg-mm-s數值 · 10 6 |
Kg-m-s數值 · 10 -3 |
Kg-m-s數值 · 10 -6 |
Kg-m-s數值 · 1.0 |
12 |
導熱率 |
M · L / (t 3 · K) Kg · m/ (s 3 · K) |
Kg-m-s數值 · 10 -3 |
Kg-m-s數值 · 10 3 |
Kg-m-s數值 1.0 |
Kg-m-s數值 · 10 6 |
13 |
比熱 |
L 2 / (t 2 · K) m 2 / (s 2 · K) |
Kg-mm-s數值 · 10 -6 |
Kg-m-s數值 · 10 6 |
Kg-m-s數值 · 10 6 |
Kg-m-s數值 · 10 6 |
14 |
體熱源 |
M / (t 2 · L) Kg / (s 2 · m) |
Kg-mm-s數值 · 10 3 |
Kg-m-s數值 · 10 -3 |
Kg-m-s數值 · 10 -6 |
Kg-m-s數值 · 1.0 |
15 |
換熱 系數 |
M / (t 3 · K) Kg / (s 2 · K) |
Kg-mm-s數值 · 1.0 |
Kg-m-s數值 · 1.0 |
Kg-m-s數值 · 10 -3 |
Kg-m-s數值 · 10 3 |
16 |
粘性 系數 |
M / (L · t) Kg / (m · s) |
Kg-mm-s數值 · 10 3 |
Kg-m-s數值 · 10 -3 |
Kg-m-s數值 · 10 -6 |
Kg-m-s數值 · 1.0 |
17 |
熵 |
M · L 2 / (K · t 2) Kg·m2 / (K · s 2) |
Kg-mm-s數值 · 10 -6 |
Kg-m-s數值 · 10 6 |
Kg-m-s數值 · 10 3 |
Kg-m-s數值 · 10 9 |
18 |
比熵、 質量熵 |
L 2 / (t 2 · T) m2 / (s2 · K) |
Kg-mm-s數值 · 10 -6 |
Kg-m-s數值 · 10 6 |
Kg-m-s數值 · 10 6 |
Kg-m-s數值 · 10 6 |
注：后三列中給出的是將kg-m-S 單位制中的數值轉換到其它單位制時 (在準備輸入數據時) 所乘的因子；如果需要將其它單位制中的數值轉換到kg-m-S 單位制 (在分析計算結果時)，則應該除以該因子！！！
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