1、概述

在工程結構分析中，經常會遇到大量的接觸問題，如齒輪嚙合、法蘭連接、軸承接觸、密封、沖擊等。接觸是典型的狀態非線性問題，是一種高度的非線性行為。對一般情況下的接觸問題進行求解，常用的數值方法是有限單元法，有限差分法和邊界法。由于有限單元法概念簡單，易于利用計算機計算并且可以適用于各種幾何形狀、材料特性和載荷條件，在接觸問題的數值求解中得到廣泛的應用。接觸是狀態的非線性，系統的剛度依賴于接觸狀態。

接觸問題分為兩種基本類型：剛體─柔體的接觸，柔體─柔體的接觸。在剛體─柔體的接觸問題中，接觸面的一個或多個被當作剛體，(與它接觸的變形體相比，有大得多的剛度)。一般情況下，一種軟材料和一種硬材料接觸時，可以假定為剛體─柔體的接觸，許多金屬成形問題歸為此類接觸。柔體─柔體的接觸是一種更普遍的類型，在這種情況下，兩個接觸體都是變形體(有相似的剛度)。柔體─柔體接觸的一個例子是法蘭連接。

2、接觸算法介紹

接觸問題可描述為求區域內位移場U，使得系統的勢能在接觸邊界條件的約束下達到最小　，即

式中K、U、F分別為通常有限元位移法中的剛度矩陣、未知結點位移向量和結點荷載向量，為兩物體間的穿透量。

接觸約束算法就是通過對接觸邊界約束條件的適當處理，將上式所示的約束優化問題轉化為無約束優化問題求解。根據無約束優化方法的不同，主要可分為罰函數方法、Lagrange乘子法及增廣Lagrange乘子法等。

（1） 罰函數法

數學上要求有限的穿透量在交界面處產生接觸力。保持系統平衡需要此接觸力。為了平衡， 必須大于零。然而，實際的接觸體相互不穿透。因此，為了最高的精度，應使發生在接觸界面處的穿透量最小，這意味著，理想的接觸剛度應該是個非常大的值。然而，值太大會引起收斂困難。如果接觸剛度太大，  一個微小的穿透將會產生一個過大的接觸力，在下一次迭代中可能會將接觸面推開，用太大的接觸剛度通常會導致收斂振蕩，并且常會發散。

（2） Lagrange乘子法

Larange乘子法實質上增加一個附加自由度 (接觸壓力)，來滿足不可穿透條件。

（3） 增廣Lagrange乘子法

將以上兩種方法結合起來，就是增廣Lagrange乘子法。接觸協調基于懲罰剛度的確定。一旦達到平衡，檢查穿透容差。此時， 如果有必要，接觸壓力增加，迭代繼續。

3、接觸剛度的設置

兩物體間穿透量大小取決于接觸剛度，過大的接觸剛度可能會引起總剛矩陣的病態，而造成收斂困難。一般來講，應該選取足夠大的接觸剛度以保證接觸滲透小到可以接受，但同時又應該讓接觸剛度足夠小以使不會引起總剛矩陣的病態問題而保證收斂性。

單元的材料特性來估計一個缺省的接觸剛度值，用實常數FKN來為接觸剛度指定一個比例因子或指定一個真正的值，比例因子一般在0.01和10之間，當避免過多的迭代次數時，應該盡量使滲透到達極小值。 

為取得一個較好的接觸剛度值，又可需要一些經驗，可以按下面的步驟進行。

（1）開始時取一個較低的值，低估些值要比高估些值好，由一個較低的接觸剛度導致的滲透問題要比 過高的接觸剛度導致的收斂性困難，要容易解決。

（2）對前幾個子步進行計算，直到最終荷載的一個比例(剛好完全建立接觸)。

（3）檢查滲透量和每一子步中的平衡迭代次數，如果總體收斂困難是由過大的滲透引起的（而不是由不平衡力和位移增量引起的），那么可能低估了FKN的值或者是將FTOLN的值取得太小，如果總體的收斂困難是由于不平衡力和位移增量達到收斂值需要過多的迭代次數，而不是由于過大的滲透量，那么FKN的值可能被高估。

總的來說，接觸問題在結構分析中是一個較難的問題，需要設置接觸類型、接觸區域、接觸剛度等，而接觸的設置準確與否直接影響到求解結果。因此，在設置接觸過程中應仔細推敲確定。