（轉）概述

本文主要描述了基本的 SPICE 模擬仿真原理，事實上所有的基于直接矩陣算法的模擬仿真器都采用相同的方法。本文是基于基本的核心算法，而不是仿真器內部真實發生的時序。

電路仿真的三個復雜層次

解決電路仿真的問題可分為以下 3 個層次：

1. 怎樣分析一個只有固定的電流源和線性電阻的電路

2. 已經解決第一個問題后，怎樣處理非線性元件，如二極管、晶體管

3. 已經解決以上兩個問題后，怎樣處理電抗元件，如電容

第一個問題相對來說比較簡單，一個完全線性、并且沒有電抗元件存在的電路，你可以應用基爾霍夫和歐姆定律導出它的方程式，從而計算所有的節點電壓和器件中的電流，由此衍生的兩種分析是節點分析法和網孔分析法。下文將以節點分析法來做介紹。

第二個問題相對難解決一些，因為一些非線性元件不好用數學解析的方法來計算，如以下一個簡單的二極管電路：

沒有可以直接計算二極管和電阻間的節點電壓的表達式，盡管你可以導出一個簡單的表達式來計算這個電壓，但是沒有方法去解這個方程。我們能做的是先猜測一個電壓值，再去測試它是否正確，判斷的結果是太大或太小，而不是一個具體的值，并在增大或減小這個猜測值后再次嘗試。這種方法是相當隨意的，因此產生了一種更系統的方法——牛頓迭代法，這種方法可以在每次迭代后簡單有效地估算新的猜測值，并且精度常?？梢赃_到 0.1% 左右，因此SPICE 類軟件基本都采用此方法。

第三個問題最難解決，直到目前也只解決了 DC 值，觀察時域仿真結果，此文沒有論及 AC 分析，下文會以電容為例。

節點分析法

要計算 V1 和 V2，根據基爾霍夫電流定

律：I?1+(V2-V1)/R1=0   I2+(V1-V2)/R1+(0-V2)/R2=0

解此方程組可得：V1=1.2，V2=0.2

盡管這只是個簡單的例子，過程大致都是、以上面的二極管電路為例，25℃下二極管的動態電阻近似等于 25.8/id，id 是二極管電流（單位 mA），這里用一個電阻作為二極管的小信號模型，再考慮 DC 偏置，這里再添加一個固定的電流源，并聯在電阻兩端：一樣的，可以應用于任何電流源和電阻的電路。

仿真軟件建立以上等式而采用的程序稍微有點不同，但最后的方程

是一樣的，只是表達上有所區別。

如何處理非線性元件

上文提到采用牛頓迭代法來解決包含非線性元件的電路，非線性元件在一個小的范圍內可以當作是線性的，相當于半導體器件的小信號模型的處理。例如一個雙極型晶體管的小信號模型：但是這種模型沒有偏置條件，不能用于 DC 分析，這里添加一個 DC 電流源并聯在 rpi 兩端，一個 DC 電流項到集電極，作為偏置條件：這個模型是線性的，用節點分析法就可以計算，但是這種線性只在很小的范圍內才成立，因此不能直接給出正確的結果，盡管如此這種模型可以提供一個比初始的猜測值更好的結果，具體的

步驟：

1. 先給非線性元件的端電壓指定一個初始的猜測值 ;

2. 根據端電壓計算每個非線性元件修正后的小信號模型，例如上面的 BJT，先根據集電極電流和增益計算 rpi 和 gm，進而計算 Ib 和 Ic 的值 ;

3. 由節點分析法構建算式方程組 ;

4. 由此方程組計算出新的端電壓值，從第 2 步開始重新計算 ;

5. 重復計算此過程，直到得到一個足夠精確的結果（通過連續的迭代對比結果來測量精度），每個返回的節點電壓的值越來越接近之前一次迭代的值，說明已收斂。當連續迭代的值之差小于一個確定的公差，認為此過程完成。

以上面的二極管電路為例，25℃下二極管的動態電阻近似等于 25.8/id，id 是二極管電流（單位 mA），這里用一個電阻作為二極管的小信號模型，再考慮 DC 偏置，這里再添加一個固定的電流源，并聯在電阻兩端現在這個電路就可以用節點分析法來計算了，我們會得到一個新的二 極 管 電 壓 ，雖 然 未 必 是 正 確 的 結 果 ，但 比 初 始 的 猜 測 值 要 更 接 近 了 ，

重復此步驟最后就會在需要的地方收斂。

二 極 管 電 壓 Vd 的 初 始 猜 測 值 是 0 . 7 ， I d 是 由 Vd 計 算 得 到 的 電 流值，ieq 是等效電流，也就是并聯于 Rd 兩端的電流源的值，用于維持二極管最初的電壓降和電流的，ieq=Id-Vd/Rd，最后一列是新的電壓值，并作為下次迭代計算的起始值，最后在 10 次迭代后得到的最終結果 0.75021 已精確到 5 個有效數字。

怎樣計算二極管的電流

Id=Is×[e（Vd/V T）-1]，V T=q/KT=25.8mV@25℃，Is 是一個模型參數，典型值為 1e-15。

一般來說，所有的 SPICE 器件模型都需要能根據其端電壓計算 pin腳電流和動態電阻的方法。

電抗元件

接下來我們來看下 SPICE 怎樣處理電容的，電感等其他器件的處理基本是相同的。

注意：這里描述的是在時域分析時 SPICE 怎樣處理電容等，AC 分析時電容是被當做電阻的（但是有一個復雜的值），在時域分析里如何處理電容是更為困難的問題。

以下圖為例：

已知 t=0 時 C1:

1. 電容大小 =C

2. 電容電流 =i0

3. 電容電壓 =v0

假設 t=0 時電流是恒定的：

i0 ≈ C(v1-v0)/Δt → v1 ≈ v0+i0*Δt/C

v1 是 t=Δt 時的電壓值。

用一個大小等于 v1 的電壓源替代電容后：在每個時間步長后重新計算電壓源，只要 Δt 足夠小，此方法的 精 度 就是足夠的，但是有一個本質的缺陷使其在電路仿真中幾 乎 毫 無 用 處 ， 要 理 解 這 個缺陷，先考慮當電容電壓為 4.999V 時的情況，此時電容已完全充滿，不再需要小的時間步長來仿真，如果此時我

們設定仿真步長 timestep 為 1ms：v1=4.999+i0x1e-3/1e-9。i0=5-4.999/1000=1e-6

v1=5.999

顯然結果并不是一個有用的值，我們這里假定電流在 1ms 的時間內保持為 1uA，但事實并不是這樣的，實際上在此期間電容的電流會呈指數形式的衰減至接近為 0。這就意味著盡管電容事實上已經穩定了，仿真器仍然需要小的時間步長來保持它的電壓穩定，在數學術語里就是指此方法沒有剛性穩定，這種方法稱為前向歐拉積分法。SPICE 并沒有采用此方法，這里簡單介紹一下它可以幫助理解為何 SPICE 采用其他更復雜的方法來處理，其中最簡單的就是后向歐拉積分法。

我們知道 i0 ≈ C（v1-v0）/Δt，  i1 ≈ C（v1-v0）/Δti1 并不是已知的，不能直接得到 v1 的表達式，意味著不能將電容。當作一個固定的電壓源來處理，而用一個電流源并聯一個電阻來替代電容：Δt 時 :i1=v1/req+ieq

i1 ≈ v1xC/Δt-v0*C/Δt  當 1/req=C/Δt，ieq= ﹣ v0*C/Δt 時，兩個方程等效。

因此我們可以用阻值為 Δt/C 的電阻并聯電流為﹣ v0*C/Δt 的電流源來替代電容。

這就是后向歐拉法，再對比之前提到的當電容電壓為 4.999V，time  step 為1ms 時的情況：req=Δt/C=1e-3/1e-9=1e6。ieq= ﹣ v0*C/Δt= ﹣ 4.999x1e-9/1e-3= ﹣ 4.999e-6

因此計算的 v1 值為 4.999999001，精度很高，是剛性穩定的。SPICE 一般是在第一個時間點和之后的每個斷點時使用此方法處理，發生在波形的轉折點處，如脈沖的起始處。默認設置下，SPICE 通常采用另一種方法：梯形法則，也是剛性穩定的，同時具有更高的精度。

TRAPEZOIDAL  RULE

i0 ≈ C(v1-v0)/Δt

i1 ≈ C(v1-v0)/Δt

等式里 t0 和 t1 時刻的電流是用 t0 和 t1 時刻的電壓來近似計算的，如果用 t0 和 t1 時刻的電流平均值來計算表達式 C（v1-v0）/Δt 會得到一個更為精確的值：

(i0+i1)/2=C(v1-v0)/Δt

i1=2Cv1/Δt-2Cv0/Δt-i0

因此：

req=Δt/2C

ieq=-2Cv0/Δt-i0

這就是梯形法則或梯形積分法，SPICE 大部分情況下都是采用此方法。

結果對比

下圖是分別采用這兩種方法得到的結果對比，另一條是理論計算結果，時間步長設為固定的 500ns。由此可以看出梯形法則比后向歐拉法更為精確。