根據材料力學的知識，一根承受豎向荷載的梁，它的彎曲曲率的數學意義等于豎向位移的二階微分，而曲率的物理意義是彎曲形狀的半徑的倒數。同樣，彎矩除以EI，就等于曲率。對于我們在入門的材料力學里遇到的問題來說，EI 一般都是常數，所以彎矩和曲率之間是一條簡單的直線。而對于鋼筋混凝土梁，EI 就不再是常數了，隨著混凝土的逐漸開裂、鋼筋的受拉屈服，鋼筋混凝土梁的 EI 也在逐漸變化。所以，鋼筋混凝土梁的彎矩-曲率圖不再是一條直線。最簡化的分析，我們取三個關鍵點，將彎矩-曲率圖看作是三條線段組成的折線。這三個關鍵點分別是：混凝土開裂、鋼筋受拉屈服、混凝土受壓破壞。

對于鋼筋混凝土梁截面的受彎分析，有兩條基本原則。第一條是「幾何協調」，也就是「平截面假定」。截面在受彎變形之后依然保持為平截面，換言之，應變與離中性軸的距離成正比，受拉區和受壓區的應變圖是兩個相似直角三角形。

第二條準則是「靜力平衡」，也就是受壓區的總壓力 C 要等于受拉區的總拉力 T，同時，拉力或者壓力乘以內力臂 jd 要與外荷載的彎矩平衡。

第一條準則處理的是純幾何問題，或者可以說是應變問題；第二條準則應對的則是純力學問題，或者可以說是應力問題。這兩者之間的關聯也就是我們下面要關注的應力-應變關系。

在鋼筋混凝土截面受力分析中，我們采用的鋼筋應力應變是這樣的，先是一條斜線，斜線的斜率為鋼筋的彈性模量，斜線到達屈服點之后，就變為一條水平直線。而混凝土的應力-應變關系就沒有這么簡單了，事實上它是一條曲線。在混凝土的壓應變達到極限壓應變的一半之前，我們可以近似的認為是一條斜線，斜率為混凝土的彈性模量。

對于鋼筋，實際的應力應變關系是左圖這樣的，但實際的混凝土構件中，由于不可能出現太大的變形，所以鋼筋不會出現很大的應變，因此，我們近似采用右邊的簡化關系。也就是忽略左圖中的曲線 cde，代之以直線 bc 的繼續延伸。

不同強度的混凝土的應力應變關系是左圖這樣的，為了應用于設計的工程分析和設計，我們需要用數學來描述這些曲線。如何把應力應變關系用簡潔的數學式子表達出來，這就是一個問題。基于實際的實驗結果，有很多不同的數學描述。比如右邊的 Hognestad 和 Todeschini。Todeschini 相對更為常用，因為它不是分段函數，而是用一個統一的式子來表達應力應變關系，處理起來更為方便。

這么多的數學模型，規范到底采用的是哪種呢？上面的是 ACI318 的規范，簡單說，隨便你，只要你認為這種數學模型跟實際實驗結果比較吻合。下面的是 GB50010 的規定，給出了具體的數學表達式，采用的是改進的 Rusch 模型，分段函數，第一段是曲線，第二段是水平直線。

這里也可以體現出一點小差異，很多時候，ACI318 給的是要求和建議，而 GB 規范給的是具體的規定。比如這個應力應變關系，ACI 給的是可以采用任何數學模型，只要跟實驗結果吻合較好即可，這樣，新出現的研究結果可以隨時應用到實際工程中。而 GB 給的是直接的 Rusch 模型，就這樣定死了，新的研究結果要想用到實際工程中，只能能下一版規范的修訂了。

我們比較一下 Todeschini 和 GB 規范采用的改進版 Rusch。我們用 MathCAD 繪制這兩個應力應變關系的圖形。ACI 的抗壓強度采用的是圓柱體試件，GB 規范采用的是立方體試件，混凝土強度等級 C60 以下，這兩者之間的比值約等于0.79。所以 C30 混凝土大致相當于 3440 psi 的混凝土。

上圖就是兩者的對比，紅色的是Todeschini，藍色的是改進的 Rusch。因為ACI 用的是標準值，GB 的則是設計值，對于梁受彎來說，ACI 的標準值要再折減0.9，所以我們可以對比 0.9倍的Todeshini 和 GB 的曲線。總體來看，GB 規范還是更為保守。

下面我們舉一個算例，采用的初始參數基本相同。最大的區別可能是 ACI 的保護層厚度更大、鋼筋強度更高。

直到開裂之前，鋼筋混凝土梁截面都處在線性階段，符合基本材料力學的理論。截面由鋼筋和混凝土兩種材料構成，為了處理更方便，我們把鋼筋轉化成等效的混凝土截面。同樣的處理還出現在鋼-混凝土組合梁的分析中，只不過跟這里相反，這里是把鋼筋變成混凝土，組合梁是把混凝土變成鋼材。

通過等效變換，把鋼筋轉換為等效的混凝土截面之后，截面由兩種材料變成了同一種材料，截面形狀變為了左上角這個形狀。我們可以得出這個幾何形狀的慣性矩和中性軸。應變線性分布，中性軸處為零；應力與應變呈線性關系，所以也是線性分布。開裂的臨界點就是混凝土的拉應力達到開裂拉應力。其實這就是個簡單的材料力學中均質桿件的彎矩應力分析。

具體的計算如上所示。為了方便比較，我們把最終的開裂彎矩和開裂曲率轉換為公制單位。

而 GB 采用的混凝土受拉應力應變關系略有不同，上面 ACI 的受拉是直接線性關系，而這里的受拉應力應變是雙折線，包含了一條水平曲線。也就是說，應變仍然是直線，受拉區的應力則變成了斜線加直線。這時候的拉力由三部分組成，三角形混凝土拉應力區的總拉力T1、矩形混凝土拉應力區的總拉力T2、鋼筋的拉力T3。鋼筋的應變與鋼筋所在位置的混凝土的應變相同，也就是鋼筋的總拉力 T3 等于應變乘以鋼筋的彈性模量再乘以鋼筋面積。

因為拉應力區不是線性分布，所以不能再從幾何形狀出發得出中性軸位置了。我們先假定一個受壓區高度，然后求算受壓區總壓力 C 和受拉區總拉力 T，繼而逐漸調整受壓區高度的大小，使得壓力和拉力相等。

對比一下兩種方法的開裂彎矩和曲率的結果，考慮到 ACI 是標準值，所以折減之后的設計值略微大于 GB 的計算結果，GB 要更保守一些。造成差異的主要原因我們之前也說過，主要是因為采用了不同的受拉區應力分布。