來源：達索系統大土木工程BIM發展聯盟

1強度折減原理及算法

① 強度折減原理

基于強度儲備概念的安全系數f_s的定義為：當材料的抗剪強度參數c、f 分別用其臨界強度參數c_c、f_c所代替后，結構將處于臨界平衡狀態，其中

在用有限元法尋找f_s時，通常需要求解一系列具有下列強度參數c_i和f_i的題目

其中Z_i為強度折減系數。若某一問題的解接近臨界平衡狀態，就將安全系數f_s取為對應的Z_i。

對于巖石類材料，若其滿足Mohr-Coulomb準則，則其摩擦角 f 和泊松比 n 應滿足不等式[1, 2]

在對強度參數c、f 打折扣時，為了保持不等(5)式成立，可假定始終有如下關系式成立

式中，f_i和v對應于折減系數Z_i，β為常數

其中f和n為巖石真實的參數。由式(7)知，β≥1。

當時，必有，由式(7)可知，巖石表現為無抗剪強度但又不可壓縮的水，由此可見式(7)的合理性。

隨著ci、f_i的降低，v_i增大，而E_i將減小。因為式(6)已經定義了v_i的變化規律，我們將按照下式來定義E_i

其中E和v_i為巖石真實的參數。

② 算法

我們建議的用有限元法計算安全系數的算法如下

1) 由(7) 式求得參數β；

2) 給定一個強度折減系數Z_i，由(3)和(4)分別求得c_i和f_i；

3) 由式

和

求得E_i和v_i；

4) 以E_i、v_i和c_i、f_i為參數做有限元分析；

5) 若已達到了極限狀態，取安全系數f_s=Z_i，結束分析；否則取一個新的強度折減系數Z_i重復第2)步。

2Abaqus操作界面

1）在Abaqus的下拉菜單Plug-ins中選SlopeSR，如圖1所示；

圖1 Abaqus的下拉菜單Plug-ins

2）彈出圖2所示的Slope^SR對話框；

圖2 Slope^SR對話框

設定計算參數，包括：

泊松比v是否調整，默認值是Yes；

彈性模量E是否調整，默認值是Yes；

計算采用的CPU個數，默認值是4；

迭代初始的強度折減系數FOS，默認值是1.0；

是夠存儲計算過程文件ODBs，默認值是No；

選擇所需計算的inp文件；

設定工作名。

點擊OK或Apply進行計算，點擊Cancel則關閉對話框。

3算例驗證

① 二維邊坡算例

圖1是一均質邊坡有限元模型。假定抗剪強度參數為c = 0.05886 MPa, f = 11.31°, 單位重 g = 19.62 KN/M³，彈模 E = 80 MPa, 泊松比 n = 0.43，材料符合Mohr-Coulomb準則和關聯流動法則。坡高50米，寬165.2米。左右兩邊模型高度分別取200和250米。邊界條件是：兩側法向約束，底部固定。

不調整泊松比和彈性模量，計算得到的強度折減系數為1.368。極限狀態下的等效塑性應變如圖4所示。可見邊坡以下很深的區域都以發生了塑性變形。

僅調整泊松比，計算得到的強度折減系數為1.368。極限狀態下的等效塑性應變如圖5所示。

調整泊松比和彈性模量，計算得到的強度折減系數為1.368。極限狀態下的等效塑性應變如圖6所示。

圖3 二維邊坡模型

圖4 算例1極限狀態等效塑性應變（不調整E、v）

圖4 算例1極限狀態等效塑性應變（僅調整v）

圖5 算例1極限狀態等效塑性應變（調整v和彈性模量E）

② 三維邊坡算例

圖6所示，一三維凸角邊坡的幾何尺寸，材料參數見表1。底部邊界和x = 0 m與 y = 60的側面邊界固定，在 x = 60 m 與y = 0 的邊界面上法向約束。

不調整泊松比和彈性模量，計算得到的強度折減系數為4.103。極限狀態下的等效塑性應變如圖4所示。幾乎整個邊坡都進入了塑性區。

由于給定的泊松比和摩擦角不滿足不，以下計算將泊松比重新設為0.33。

僅調整泊松比，計算得到的強度折減系數為4.086。極限狀態下的等效塑性應變如圖5所示。

調整泊松比和彈性模量，計算得到的強度折減系數為4.086。極限狀態下的等效塑性應變如圖6所示。

表1. 凸角邊坡的幾何參數

E (MPa)	Poisson’s ratio	Cohesion c (kPa)	Friction angle φ (?)	Specific weight γ (kN/m3)
10	0.25	40	20	20

圖6. 三維轉角邊坡模型(From Camargo, Velloso et al. 2016)

 

圖7 三維邊坡模型

圖8 算例2極限狀態等效塑性應變（不調整E、v）

圖9 算例2極限狀態等效塑性應變（僅調整v）

圖10 算例2極限狀態等效塑性應變（調整v和彈性模量E）

參考文獻

1. 鄭宏, 李春光, 李焯芬 and 葛修潤, 求解安全系數的有限元法, 巖土工程學報 24 (2002), no. 5, 626-628.

2. H. Zheng, D. F. Liu and C. Li, Slope stability analysis based on elasto-plastic finite element method, Int J Numer Meth Eng 64 (2005), no. 14, 1871-1888.

3. T. K. Nian, R. Q. Huang, S. Wans. and Q. Cheng., Three-dimensional strength-reduction finite element analysis of slopes, Can Geotech J 49 (2012), no. 5, 574-588.