1　模型修正方法

   論文將理論模型固有頻率的相對誤差作為目標函數, 其前4 階固有頻率作為狀態變量, 有限元建模中一些不確定的材料和截面參數作為設計變量。運用ANSYS 軟件, 先計算目標函數和狀態變量對設計變量的靈敏度, 然后優選出靈敏度較高的設計變量, 并采用合適的優化方法進行優化迭代, 最后得到較為精確的有限元模型。

1.1 　靈敏度分析

   設計變量可表示為x =[ x1 , x2 , … , xn ] , 其中x′j ≤xj ≤x″j (j =1 , 2 , … , n), 其中x′j , x″j 分別表示設計變量xj 的下限, 上限。以下表示方法均相同。

目標函數的參考狀態為fr (x)=f(x(r)), 則目標函數或狀態變量對設計變量的靈敏度為

1.2 　優化設計的基本原理

ANSYS 軟件提供了多種優化方法, 綜合考慮結果的準確程度, 論文以一階優化法為主, 并輔以其他方法進行計算, 每次迭代后均保留一組最優解。歸納為如下一般形式。

最小值:f=f(x)

約束條件:

用混合罰函數法將其轉化為量綱為一無約束的單目標優化問題, 則罰函數為

其中, px , pg , ph , pw 為受約束的設計變量和狀態變量的懲罰因子。應用無約束優化問題的梯度法, 迭代公式為

其中, s_j為最優步長因子。迭代的收斂條件為

其中τ為目標函數的公差。

2　實橋動力特性

以邢臺地區青洞大橋為例。此橋為6×20m 空心簡支梁, 橋面全寬12m , 載重標準為汽-20 , 掛-100。基于該橋圖紙建立初始有限元模型, 隨后由現場測試的動力參數進行模型修正, 得到該橋的基準有限元模型。單跨空心簡支梁結構如圖1所示。

其動態特性由有限元分析和環境振動試驗獲得,有限元建模采用ANSYS 軟件中的Solid45 單元, 共劃分55 210個單元。

環境振動試驗在橋梁L/2跨處、L/4和3L/4處布置測點。試驗采用12 個加速度傳感器拾取環境振動響應。本次模態試驗的參數識別方法選用峰值拾取法, 該方法識別迅速, 容易操作。由此分析結構的動態特性, 結果如圖2 所示。

接下來將理論振型和實測振型配對。利用MAC準則定量地檢驗實測與理論模態參數的相關性, MAC為1 或接近1 , 說明兩振型相關性好。表1 列出了橋梁有限元理論與實測的固有頻率值和兩者的MAC值。

3　有限元動力模型修正

   有限元模型的不精確因素一般情況下主要來自3個方面:模型結構誤差、模型階次誤差和模型參數誤差。假定模型參數誤差是有限元誤差的最主要因素。模型參數誤差一般由不精確的材料、幾何參數和聯結、邊界條件估計引起。

   分析橋梁有限元模型, 主要有以下幾個部位建模欠精確:①混凝土材料彈性模量E ;②空心梁底部厚度H1 ;③空心梁高度和橋面鋪裝層厚度總和為H ;④單跨梁計算跨長L , 以及梁截面其他參數等。

   經對以上部位結構參數進行了特征值靈敏度分析后, 并排除非敏感參數, 確定了由待修正參數組成的設計變量為H , H1 , L , E 。僅列出設計變量H ,H1 , L , E 在各自的變化范圍內的(±1 %)變化時,ω1 (有限元理論計算振型的第1 階頻率) 的變化量(即敏度) 分別為0.012 、0.007 6 、-0.016 4 、0.025Hz 。

   狀態變量:ω1 、ω2 、ω3 、ω4 分別為實橋有限元理論計算振型的第1 、2 、3 、4 階頻率。

   定義:實橋測試的各階振型的頻率為

優化迭代過程的數學模型如下

最小值:

其中, Wi 為權重系數, 可取為

       約束條件

誤差小于5 %, 而第1 階頻率誤差不超過2 %。經過3次迭代, 理論、實測頻率迅速收斂到預設的誤差范圍。優化結果見表2 和表3 。

4　結論

(1)有限元模型修正的結果使得各階頻率的精度都有所提高, 各階頻率的終點誤差在2%左右, 達到了較高的精度。設計變量中, 梁截面高度參數H 的修改量較大, 與實際情況相符合。

(2)論文所采用的基于優化理論的動力模型修正方法可以在現有的通用結構分析軟件基礎上, 不需要輸出質量、剛度和阻尼矩陣即可進行有限元模型修正, 比較適合于實際大型橋梁工程應用。