在剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)、飛機(jī)飛行、衛(wèi)星姿態(tài)等領(lǐng)域，歐拉角是一個(gè)非常重要的概念和控制參數(shù)。

通俗講，一個(gè)直角坐標(biāo)系Sys-1，繞自己的X、Y、Z坐標(biāo)軸依次轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，變?yōu)樽鴺?biāo)系Sys-2，則轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為歐拉角。歐拉角的值與轉(zhuǎn)動(dòng)順序相關(guān)，例如從Sys-1轉(zhuǎn)到Sys-2，轉(zhuǎn)序X→Y→Z與轉(zhuǎn)序Z→X→Y的歐拉角通常不同。因此，講歐拉角時(shí)必須明確轉(zhuǎn)序。除了繞3個(gè)軸轉(zhuǎn)的歐拉角，還有繞2個(gè)軸轉(zhuǎn)的歐拉角，例如轉(zhuǎn)序X→Y→X。

除了運(yùn)動(dòng)學(xué)，精密設(shè)備的指向變化，有時(shí)也用歐拉角表示。例如，某精密指向、定位設(shè)備安裝面為X-Y平面，指向?yàn)閆軸。由于外載荷（力、熱等）作用，引起該設(shè)備安裝面、指向發(fā)生變化，這時(shí)，可以用指定轉(zhuǎn)序下的歐拉角表示設(shè)備指向狀態(tài)的變化量。此處指定轉(zhuǎn)序下的歐拉角稱為絕對(duì)歐拉角。

對(duì)于有一定角度關(guān)系的兩臺(tái)精密設(shè)備，當(dāng)關(guān)注兩臺(tái)設(shè)備相對(duì)指向變化時(shí)，引入相對(duì)歐拉角描述。

下面以簡(jiǎn)單例子介紹平面變形、指向歐拉角的計(jì)算，包括絕對(duì)歐拉角、相對(duì)歐拉角。

1 簡(jiǎn)化模型

下面的六面體為表面殼模型，下面由三段梁支持，三段梁分別沿X、Y、Z軸向。六個(gè)面的厚度不同，在上側(cè)3個(gè)面施加不同的壓力，如下左圖所示。位移云圖如下右圖所示。

2 計(jì)算要求

計(jì)算六面體上面3個(gè)面的變形歐拉角，包括3個(gè)面的絕對(duì)歐拉角，平面2、3相對(duì)與平面1的相對(duì)歐拉角。平面1、2、3如下圖所示。

3 數(shù)據(jù)處理

使用平面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)、位移數(shù)據(jù)計(jì)算平面變形歐拉角。可以使用Python腳本輸出平面節(jié)點(diǎn)編號(hào)、節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)（X、Y、Z）、節(jié)點(diǎn)位移（U1、U2、U3），如下圖所示。下圖為平面1的10個(gè)工況的數(shù)據(jù)文件，打開(kāi)的文本文件中7列數(shù)據(jù)為節(jié)點(diǎn)編號(hào)、坐標(biāo)、位移。

三個(gè)平面10個(gè)工況的節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)文件如下圖所示。每個(gè)文件中包含一個(gè)工況一個(gè)平面的節(jié)點(diǎn)編號(hào)、坐標(biāo)、位移數(shù)據(jù)。

4 絕對(duì)歐拉角計(jì)算

使用PyQt+Python開(kāi)發(fā)了一個(gè)簡(jiǎn)單的小軟件，計(jì)算絕對(duì)歐拉角、相對(duì)歐拉角。

首先計(jì)算各平面的絕對(duì)歐拉角。

計(jì)算平面1的10個(gè)工況的絕對(duì)歐拉角。

平面1變形的絕對(duì)歐拉角計(jì)算結(jié)果如下圖所示。

伴隨絕對(duì)歐拉角計(jì)算結(jié)果，軟件同時(shí)寫(xiě)出了平面變形前后的坐標(biāo)系數(shù)據(jù)，如下圖。每行18個(gè)數(shù)據(jù)，每3個(gè)數(shù)據(jù)為一個(gè)坐標(biāo)軸向量，變形前后2個(gè)坐標(biāo)系，6個(gè)坐標(biāo)軸，18個(gè)數(shù)據(jù)。

5 相對(duì)歐拉角計(jì)算

利用計(jì)算絕對(duì)歐拉角時(shí)得到的坐標(biāo)系文件，計(jì)算平面變形相對(duì)歐拉角，如下圖所示，計(jì)算平面2相當(dāng)于平面1、平面3相對(duì)與平面1的相對(duì)歐拉角。

計(jì)算結(jié)果如下圖所示。

6 小結(jié)

上述軟件用的算法申請(qǐng)了發(fā)明專(zhuān)利，軟件申請(qǐng)了軟著。CAE工程師，也可以自制軟件工具，解決重復(fù)性、復(fù)雜性數(shù)據(jù)處理等工作痛點(diǎn)。

2021年8月24日于西昌衛(wèi)星發(fā)射中心