簡介

    硫化天然橡膠是一種非線性材料，具有低剪切模量、低彈性模量、幾乎不可壓縮和斷裂伸長率高的特點。典型的橡膠單軸拉伸應力應變曲線如下圖所示，我們可以通過宏觀單元對于橡膠支座進行模擬，詳情請看（【JY】基于Rmberg-Osgood 本構模型的雙線性計算），為了探究支座的細部構造與性能，今天給大家帶來橡膠支座精細化模擬，以及有限元分析中相關的注意要點。

    名義應力是指未變形單位面積上的力，名義應變是指每單位未變形長度的伸長。

    從精細化細觀中分析，橡膠的超彈性本構在曲線在小應變（<50%）時具有較高的彈性模量，在中等應變（50~200%）彈性模量降低，在大應變時（>200%）彈性模量又升高，即開始出現硬化現象，而通常宏觀本構的使用，通常將中小應變下體現出來的宏觀剛度取一致，大變形至>250%，開始考慮橡膠支座硬化。

    在橡膠的變形特點中，橡膠變形后體積基本保持不變，即接近不可壓縮，其泊松比非常接近0.5，一般在0.4985到0.4999。通常采用體積模量K (或修正體積模量Eb)來描述橡膠的體積變形特點，體積模量是指壓強變化與對應體應變的比值，（詳細可見【JY】橡膠支座的簡述和其力學性能計算）

    其中體應變為單位初始體積的變形。隔震支座橡膠的體積模量K(非修正)一般取1000~2500Mpa，建議取1000Mpa。(具體參數可參照后文表格)

    特別注意，精細化模型采用的體積模量K(可取1000Mpa)與宏觀單元采用的體積模量Eb=1960Mpa不同，原因是橡膠支座精細化模擬僅考慮橡膠本體的體積模量K，是由試驗測定的，而宏觀單元中的體積模量Eb并非根據試驗測定的，而是考慮其與疊層橡膠支座壓縮剛度的一致性而確定的。

    根據GB 20688.3-2006 橡膠支座 第3部分：建筑隔震橡膠支座可得最后一列體積模量K的參考值：

    用于橡膠分析的超彈性本構中，常用的超彈性本構模型通常有兩類，基于統計熱力學理論的分子鏈網絡模型和基于連續體介質力學的唯象理論模型。（唯象理論模型：指物理學中解釋物理現象時，不用其內在原因，而是用概括試驗事實而得到的物理規律，如果這個不科學，那中醫…）

    為了分析這個精細化支座，本推文采用的有限元工具是ABAQUS，基于ABAQUS中，基于唯象理論的超彈性本構模型，包括多項式模型中的Mooney-Rivlin 模型，減縮多項式模型中的Neo-Hookean 模型和Yeoh模型，以及Ogden模型。其他模型：Arruda-Boyce模型的參數是由熱力學統計方法得到，而Van der Waals模型不適用于大變形，當材料的變形大于鎖死應變時，該模型的應變能函數并不適用。其中，neo-Hookean模型和Yeoh模型可視為減縮多項式模型的特例，而減縮多項式模型和Mooney-Rivlin模型則可視為多項式模型的特殊情況。

    目前公認的模擬橡膠材料大變形時的應力-應變行為最好的模型是Ogden模型。但Ogden模型參數較多，且物理意義不夠明確，建議采用減縮多項式模型中的Neo-Hookean/Mooney-Rivlin模型模擬100%水平剪切試驗，用Yeoh模型來模擬大剪切變形時橡膠的本構關系，圖為橡膠Ogden、Yoeh和Neo-Hookean模型本構示意曲線，其中名義應力為按照橡膠初始橫截面面積計算得到的應力值，名義應變為按照橡膠初始長度計算得到的應變值。Ogden本構模型和Yoeh本構模型能夠反映橡膠材料大應變時的硬化，Neo-Hookean/Mooney-Rivlin本構模型在橡膠大應變時仍保持線性。

（1）多項式模型

    多項式模型的應變能函數，其形式為

    參數應變勢能階次N為選擇的多項式階數，Di決定材料是否可壓縮，如果所有Di的都為0，則代表材料是完全不可壓縮的。對于多項式模型，無論N值是多少，初始的剪切模量和初始的體積模量都僅依賴于多項式第一階（N=1）的系數，對于ABAQUS的多項式模型中，

●若應變勢能階次N=1，則為Mooney-Rivlin模型；

●若應變勢能階次N=3，忽略多項式本構模型中的對I2的偏導并令其為零(即忽略C01)，則為Yeoh 模型。

（2）Mooney-Rivlin模型

    令多項式模型的若應變勢能階次N=1，即為Mooney-Rivlin 模型的應變能函數形式

    對于大多數橡膠，C01/C10≈0.05~0.2時，在應變200%以內可得合理的近似。

    因此可以根據上述方式，填寫橡膠參數進行精細化模擬。其中通過試驗滯回曲線初始直線段可得橡膠剪切模量G（G4 ~ G10的橡膠），依據經驗對G乘以1.2~1.35的放大系數n，可得到初始剪切模量 μ0 =nG，從而有 

    即可解的Mooney-Rivlin模型的C10、C01、D1。

    由于Mooney-Rivlin模型的應變能是不變量的線性函數，不能反映應力應變曲線在大應變部分的快速上升行為，但能很好地模擬小應變和中等應變(<200%)時材料的特性。當參數C01=0時，簡化為Neo-Hookean模型（初始彈性模量μ0為C10系數2倍關系）。

（3）Neo-Hookean模型

    令Mooney-Rivlin模型中的參數C01= 0，可得到Neo-Hookean模型的應變能函數

    橡膠的初始剪切模量為：

    橡膠剪切模量G（G4 ~ G10的橡膠），依據經驗對G乘以1.2~1.35的放大系數n，可得到初始剪切模量 μ0 =nG，從而有

    體積模量（K0=1000Mpa）為：

    根據上式可以求得所需參數C10，D1。

（4）Yeoh 模型

    取階數N=3，忽略多項式本構模型中的對I2的偏導并令其為零，則可將多項式模型簡化為Yeoh 模型形式

    式中，C10為正，反映初始剪切模量；C20通常為負，表示橡膠材料在中等變形時發生軟化行為；C30一般大于0，可以表現大變形時橡膠的硬化現象。

    橡膠的初始剪切模量為：

    體積模量為：

    Yeoh模型的參數C10，C20和C30具有較明確的物理意義，能夠模擬出橡膠材料具有硬化特點的應力-應變曲線，由于在疊層橡膠支座模擬中體積模量只與D1 有關，可令 D2=D3=0，當取其C20=C30=0時，就成了Neo-Hookean模型，此時僅考慮應變能函數的線性部分，得到的力-位移曲線基本呈線性。

    通常Yeoh 模型的C20和C30則通過橡膠試片的單軸拉伸試驗，并根據下式進行計算獲得

    橡膠本體拉伸試驗示意圖

（5）Ogden模型

    以上本構模型都是以三個變形張量不變量為自變量，而Ogden模型的應變能函數則以三個主伸長比為自變量，在ABAQUS中采用的形式為

    式中參數均為材料參數，必須由由橡膠試驗獲得。其中橡膠材料的初始剪切模量為：

    體積模量為：

    由于該模型參數較多，且需要利用試驗得到相關參數，則對該模型不過多贅述，詳情可看下相關文獻。

 （1） 鋼材材料屬性

    若做中小應變模擬時，通常鋼板可采用彈性本構，彈性(楊氏)模量G=206GPa，泊松比取0.3。若做大變形模擬，或鋼板可能存在損傷情況，可采用彈塑性本構，雙折線隨動硬化模型進行模擬，以常見的Q235鋼為例，參數表和輸入如下：

 （2） 鉛芯材料屬性

    通常鉛芯橡膠支座中的鉛純度可達到99.99%以上，采用理想彈塑性本構模型，其彈性模量為16GPa，泊松比取0.44，屈服強度建議取14.4Mpa（可取8~16Mpa）

 （3） 單元選取

    橡膠材料由于具有不可壓縮或近似不可壓縮的性質，橡膠材料需要采用8節點六面體雜交減縮單元C3D8RH。雜交公式可讓單元的節點位移僅僅用來計算偏應變和偏應力，單元的壓應力則由一個附加的自由度確定，可以防止體積自鎖的問題，減縮積分則可以減少積分點使得計算效率上升；鉛芯屬于常規的材料，為了防止剪力自鎖問題，鉛芯建議可采用縮減積分8結點線性六面體單元C3D8R進行計算；鋼材由于變形較小可采用8節點六面體非協調單元C3D8I，以防止剪切自鎖問題。

 （4） 計算方法建議

    （ABAQUS-Explicit）顯式分析所假定橡膠可壓縮性要比實際大得多，可能導致結果不準確。此外，對于疊層橡膠支座，橡膠與鋼板黏接，橡膠材料被高度約束，而這會導致顯式分析結果的誤差會進一步加大。所以在ABAQUS中使用隱式（Standard）求解方法分析橡膠支座的力學特性會更加接近試驗分析。

     舉個例子，采用的支座如下參數，（工具索取詳見：【JY】橡膠支座的簡述和其力學性能計算）

    對于該支座的理論參數進行位移推復（該理論本構模型未加入硬化階段分析），可得到以下理論滯回曲線：

     為了完整模擬分析支座全過程ABAQUS中使用隱式（Standard）求解，采用Yeoh本構模型，施加5Mpa面壓，并進行逐級增大的往復位移荷載。

    對比如下圖所示，由于橡膠層總厚度Tr = 90mm，則在剪應變200%（即位移為180mm）以內時，支座未硬化，模擬對比非常吻合~

概念為先，機理為本，期待下篇！

建源之光——工程俠