如題，《從形函數與函數的連續可導性到ansys結果中的節點解與單元解的差異》，形函數對結果的影響大部分人都能聯想到二次單元比線性單元求得的結果更精確，但該文要表達的不僅如此，而是從更一般地討論怎么從單元的形函數來理解節點解與單元解之間的差異。

       首先討論單元的階次。作為基礎我們應該明白網格與單元的區別，網格是將幾何體離散化后的結構，即組成幾何體的微元，單元是這些微元的幾何、物理或數學屬性（這里我們并不打算詳細討論單元的這些屬性，但是這些知識會方便對本文的理解）。我們經常在使用ansys或其他CAE軟件時經常會遇到單元的選擇以及單元階次的選擇，一般一種單元包括線性單元和二次單元甚至更高級的單元，比如在ansys中經常被使用的shell181（左）和shell281（右），線性單元使用的形函數是一次的多項式，高次單元使用的形函數是高次的多項式，形函數用于描述相鄰節點之間的位移場，所以高次的單元可以更好的描述形狀復雜的幾何體。

       不同于常規材料力學中通過平衡方程求解（首先求得的解是力解），有限元方式求解的特點是首先求解出的結果是節點的位移解，即displacement of nodes，所有的節點位移形成了位移場，在空間上位移場一定是連續的，但是不一定是平滑的。哎哎，是不是特別熟悉的感覺，正是和高數中函數的連續性和可導性兩個性質非常相似，不用奇怪，位移場本來就是用函數描述的，所以自然就存在函數的性質，所以用函數的性質來理解就可以方便解釋一些現象了，下圖分別是用兩種形函數描述的位移場，在有限元求解后得到的首先是節點位移解，即圖中5個節點的位移，假如每個節點的位移用坐標x\y\z的函數來表示，然后通過形函數插值得到相鄰節點之間的位移（也是xyz的函數），上圖是用一次形函數插值，下圖是用二次形函數插值。無論用哪種形函數插值得到的節點間的位移都是連續的，但是無論用哪種形函數插值得到的單元連接處的位移都是不平滑的，假如節點1和節點2之間的單元是單元1，節點2與節點3之間的是單元2，無論采用什么類型的形函數，位移在單元1與單元2連接處（node2）總是不平滑的，把節點之間的連線看作函數曲線，在單元之間的連接處總是不可導的，但都是連續的，原因是形函數只在單元內描述位移場，從不跨界。

        那么為什么要強調位移場在節點處不平滑呢，只要連續那么在結果的位移云圖上不就足夠了嗎？這就牽涉到應力，應力可以認為是位移場的微分解，很顯然在節點處是不可微的，那么從單元1靠近節點2，可以稱為單元1的右極限，從單元2靠近節點2可以稱為單元2的左極限，那么問題來了，節點2的應力到底是通過誰的微分得到的結果呢？答案是從兩個極限分別微分得到兩個不同的結果，所以節點2有兩個應力值，類似地其他節點也是一樣的，當然這只是針對上圖來解釋的，如果是殼單元那么對于非邊緣的節點將有4個應力值，而且都不相等，邊緣節點將有2個不同應力值，兩個邊緣交點才只有1個應力值，這樣解釋是不是更容易理解一些呢。

       下面通過一個實例進一步說明，梁一端固定，另一端施加力。

       從應力結果云圖可以看出節點應力結果等值線是平滑的，單元應力結果的等值線是鋸齒狀的，說明單元應力是一種不連續的應力，上圖是下圖經過平均后的結果，大多數時候我們比較喜歡經過平均處理后的應力值，因為這種結果比較美觀，而且比較容易觀察應力值的行為，所以在ansys中我們常常用PLNSOL來顯示結果。單元結果是未平均處理的結果，為了進一步說明這種不連續應力將單元結果打印出來。

       單元157的148號節點應力為1044.5MPa，單元158的148號節點應力是1050.8MPa，同一個節點其應力值會不一樣，這種差異可能在別的節點會更大，比如在應力梯度比較大的區域（所以應力梯度大的區域最好細化的網格），由此可知，同一個節點當它屬于不同的單元時得到的應力值是不一樣的，就像上文通過函數的可導或可微類比的那樣，在節點處存在左右兩個不同的導數，對于實體單元一個節點將有8個方向對應8個不同導數，即8個不相等的應力。理論上單元尺寸足夠小單元在節點處的應力結果越接近一個值，即同一個節點不同應力值相差越小，越可以提高計算結果的精度，但是一味的縮小單元尺寸也是沒必要的，ansys將通過平均處理不連續的應力使之變得連續甚至平滑而不失合理性，這就是PLNSOL命令的功能。

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