1. 什么是材料疲勞

材料疲勞是一種結構在循環載荷作用下出現失效的現象。疲勞裂紋是由反復施加的載荷引起的，若施加的載荷太小，則不會導致失效。疲勞裂紋通常從部件表面開始，這是裂紋萌生。然后，裂紋可能沿垂直于正應力的方向擴展。這是裂紋擴展。最后部件可能會斷裂。

下圖展示了疲勞斷裂的三個階段：

圖1 疲勞斷裂的三個階段

在某些情況中，我們無法觀察到裂紋擴展階段的變化。這種情況下，裂紋在微觀尺度上快速增長，最終導致組件突然失效。

裂紋擴展和最終斷裂這兩個階段通常屬于斷裂力學 領域的研究內容。 而“ 疲勞 ” 主要適用于第一階段。由于 部件 的大部分壽命都消耗在了 裂紋萌生階段 ，因此，大多數設計方案都會盡可能避免出現此類 現象 。

這里插一句：斷裂力學是固體力學的一個分支，它是研究材料和工程結構中裂紋擴展規律的一門學科。

現代疲勞理論為每個階段提供了單獨的分析。裂紋萌生理論是基于疲勞裂紋是由構件表面的局部應變和應力引起的假設。裂紋擴展理論將裂紋擴展與構件中的應力聯系起來。用斷裂力學對最終斷裂進行了分析。早期的理論將整個疲勞壽命視為一個單獨的整體，并將疲勞壽命與構件中計算的工程應力相關聯。

下圖顯示了在彎曲試驗中軸的疲勞斷裂。裂紋萌生發生在表面（圖片頂部）。裂紋的發展過程由條紋或海灘痕跡所顯示，這些條紋占據了斷裂面的大部分，圖片底部有一小部分脆性斷裂痕跡。

圖2 斷口照片

2. 低周和高周疲勞的區分

根據產生裂紋所需的載荷循環次數，人們習慣將疲勞分為低周疲勞 和高周疲勞。兩者之間的界限并不明確，但通常以 1~ 10萬次循環作為區分的依據。

在高周疲勞情況下，應力足夠低，因此應力-應變關系可以被認為是 線 彈性的。 而低周疲勞則包含非線性行為，材料應力-應變關系呈現滯回特性。 在分析高周疲勞時，應力范圍通常用于描述 受力 狀態 ，而 在分析低周疲勞時， 則會選擇 應變范圍或耗散能量。

3. 高周疲勞的數學模型

材料疲勞領域的研究最早開始于 19 世紀，這一領域的持續發展產生了許多疲勞預測方法。其中一個經典模型就是 S-N 曲線。這一曲線將材料失效前所經歷的循環次數（即壽命）N 與單軸加載的應力幅值關聯起來。 曲線在水平軸上代表失效循環數，在垂直軸上代表載荷幅值。如果兩個軸都使用 log10 尺度，對于許多部件，載荷壽命關系將在很大的耐久性范圍內近似于一條直線。 總的趨勢是，降低應力幅值，可以獲得更長的材料使用壽命。通常這種相關性非常強，可以達到應力幅值降低10% 就能夠將使用壽命延長50% 。

圖3 載荷與失效循環數的關系

某些材料在疲勞試驗中表現出了應力閾值，稱為疲勞極限，當應力低于該閾值時， 將 不會出現疲勞損傷，組件的運行壽命可以無限長。 對于鋼，在大約10 ⁷ 次循環時可能有一個持久極限，這意味著幅值小于疲勞極限載荷的循環不會導致疲勞破壞，無論它們被施加多少次。

并非所有材料都有疲勞極限。有些材料即使在低 水平應力作用下，也會因疲勞而失效，比如鋁合金。

將載荷幅值與特定部件的耐久性聯系起來的疲勞曲線并不具有廣泛適用性 —— 例如，如果部件的形狀發生變化，該曲線將變得無效。這時就需要對疲勞耐久性曲線進行推廣，使其適用范圍更廣。

概括起來主要有三個方面：

1. 允許使用恒幅疲勞曲線來分析復雜的荷載歷程；

2. 允許從光滑試樣試驗獲得的疲勞曲線用于不同形狀的構件；

3. 允許通過測試一種材料獲得的疲勞曲線用于計算另一種材料的疲勞壽命 —— 如果可能，在不進行疲勞試驗的情況下估計材料的疲勞特性。

疲勞曲線顯示了導致部件失效所需的恒幅荷載的加載次數。實際部件在使用中通常不承受恒幅載荷。實際疲勞分析需要一種計算構件承受變幅載荷疲勞壽命的方法。

圖4 載荷歷程

上圖顯示了由兩組恒幅載荷組成的荷載歷程。假設荷載歷程將重復，直到部件發生故障。

如果載荷僅由較大的幅值P _a1 組成，則當施加的循環次數n ₁ 等于從耐久性曲線獲得的失效循環次數N ₁ 時，構件將發生失效，這里忽略試驗結果中的任何分散性。

圖5 P a1 vs. N 1

顯然，比率 在失效時的值為1.0 。

類似地，如果荷載僅由較小的振幅 P _a2 組成，當施加的循環次數 n ₂ 等于從該幅值的耐久性曲線獲得的失效循環次數N ₂ 時，將發生失效。

圖6 Pa 2 vs. N2

失效時，比率 在失效時的值為1.0 。

為了計算組合載荷的壽命，有人提出：如果對于任一幅值，當 失效發生。那么對于組合信號，當 ，失效發生。

對于更復雜的載荷，具有許多不同的幅值，當滿足下式時失效將發生：

      

這種關系最早由 Palmgren( 帕爾姆格倫 ) 提出，后來由 Miner( 米勒 ) 提出，這就是 Palmgren-Miner( 帕爾姆格倫 - 米勒 ) 累積損傷假設，或 Miner 準則。

4.低周疲勞的數學模型

低周疲勞時塑性應變的損傷貢獻占主導地位，因此低周疲勞也稱應變疲勞。

疲勞裂紋通常是由孔和圓角等幾何形狀引起的應力集中造成的。局部應力應變疲勞分析假定，小裂紋萌生前的壽命由應力集中部位小體積材料中產生的應力和應變序列決定。因此，如果在相同材料的光滑試樣上再現相同的應力 - 應變序列，將獲得相同的疲勞壽命。

盡管許多工程部件的設計使其在正常工作載荷下的應力和應變低于彈性極限，但在局部應力集中時可能發生屈服，如果疲勞裂紋要萌生，情況必然是如此的。應變壽命分析的應用要求描述材料對循環彈塑性應變的響應，以及這些應變與疲勞壽命之間的關系。這種疲勞分析方法被稱為局部應變壽命、局部應力應變或危險位置分析。

局部應變壽命法對于實際的疲勞研究很有吸引力，在疲勞研究中，可以使用應變計測量應變。有限元模型也給出了模型中每個位置的局部應力和應變，因此局部應變壽命法非常適合于使用有限元模型進行疲勞設計。

圖8 局部應變

關鍵位置的應力和應變稱為局部應力（σ）和局部應變（ε）。遠離缺口且不受其影響的應力和應變為名義應力（S）和名義應變（e）。

如果圓柱形試樣承受拉伸、壓縮和再次拉伸的載荷，并且在每次施加載荷時發生屈服，則材料的響應是真實應力和真實應變的滯回線。

圖9 真實應力應變循環行為

光滑的試樣可以在固定應變極限之間循環，直到產生疲勞裂紋。如果在不同的等幅應變循環下對多個試樣進行試驗，則可根據真實應力幅繪制試驗壽命。如果坐標軸為log10（應力幅值）和log10（耐久循環），則試驗數據點將近似于一條直線。

圖1 0 真實應力幅與耐久性

需要注意，耐久性不是表示為 N 個循環，而是表示為 2Nf 半循環或反轉數。 Nf 是循環數， 2Nf 是反轉數。

建立應力幅值與耐久性的關系式：

              （式 1 ）

或：

              （式 2 ）

這種線性關系最早由 Basquin（ 巴斯昆 ） 于 1910 年提出。 2Nf=1 時的截距 σ‘f 是疲勞強度系數，斜率 b 是疲勞強度指數（巴斯昆指數）。試驗結果也可以在 log10-log10 坐標軸上繪制為總應變幅與耐久性的關系。

圖 11 總應變振幅與耐久性

通過分別考慮總應變的彈性和塑性分量（圖 12 ），可以得到應變 - 壽命關系的方程。

應力與應變的彈性分量之間的關系為：

              （式 3 ）

圖1 2 彈性應變和塑性應變之和的循環應力應變滯回曲線

由于真實應力和彈性應變之間存在線性關系，因此通過與應力 - 壽命關系（式 3 ）的比較，彈性應變與耐久性的關系圖是 log10 （彈性應變幅）和 log10 （耐久性）軸上的一條直線，其斜率b與圖1 0 所示的應力 - 壽命關系相同。

圖 13 彈性應變幅與耐久性的關系

將式 2 的兩邊除以彈性模量 E ，得到：

              （式4）

Manson和Coffin指出，塑性應變幅和耐久性之間的關系也可以表示為log10-log10軸上的直線（圖14）。方程式是：

              （式5）

所以：

              （式6）

圖 14 塑性應變幅值與耐久性的關系

總應變是彈性應變和塑性應變之和：

      

應變幅：

      

因此，從式4和式 6 得到的應變-壽命關系是：

                     （式7）

其中：

b       疲勞強度指數（ Basquin 指數）

σ’f        疲勞強度系數

c        疲勞延性指數（ Coffin-Manson 指數）

ε’f        疲勞延性系數，即 2Nf=1 時的塑性應變幅

E       彈性模量

圖 15 總應變振幅與耐久性的關系

用于確定應力壽命和應變壽命方程的試驗壽命是光滑圓柱形試樣中長度通常為1mm的小裂紋的壽命。局部應變壽命分析是計算小裂紋萌生時疲勞壽命的一種方法，是裂紋萌生的判據。

參考資料：

[1] 楊新華，陳傳堯 ，疲勞與斷裂 [ M ]. 武漢：華中科技大學出版社 , 2018

[2] F E -safe fatigue theory reference, [OL]. Dassault Systèmes, 2020