在使用數(shù)值模型時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到數(shù)值精度不理想的問(wèn)題。在某些情況下，如果沒(méi)有運(yùn)用好的問(wèn)題分析方法，理解和解決這些問(wèn)題會(huì)非常繁瑣。在這篇文章中，我們想分享一個(gè)用RP Fiber Power軟件進(jìn)行技術(shù)支持的示例，這個(gè)案例可能會(huì)對(duì)很多人有所幫助。盡管某些技術(shù)細(xì)節(jié)是特定于這個(gè)問(wèn)題的，但是您也可以從這個(gè)文章中學(xué)習(xí)一些基本的、具有更普遍適用性的技術(shù)。

問(wèn)題是什么？

這個(gè)案例中的的客戶是一名科學(xué)研究員，他正在研究所謂的軌道角動(dòng)量模式(OAM模式)在光纖中的傳播，使用我們RP Fiber Power軟件的數(shù)值光束傳播特性。(這種模式表現(xiàn)出螺旋波前;如果您在離圓心任意一段距離的范圍內(nèi)圍繞圓心旋轉(zhuǎn)，您會(huì)看到所有的相變，它是2 π的整數(shù)倍)具體地說(shuō)，這個(gè)客戶想知道像放大這樣的附加效應(yīng)是如何導(dǎo)致模式耦合的，也就是光功率轉(zhuǎn)移到其他模式。然后他注意到一些模式耦合在沒(méi)有任何物理效應(yīng)的情況下發(fā)生，甚至在沒(méi)有任何特殊特性的被動(dòng)型光纖中傳播。他遇到的困難是模擬是相當(dāng)耗時(shí)的，所以做很多實(shí)驗(yàn)是不實(shí)際的，例如不同數(shù)值參數(shù)的設(shè)置或?qū)δM腳本的其他更改。他已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，使用數(shù)字網(wǎng)格的最終橫向分辨率確實(shí)能顯著減少數(shù)字誤差，但效果并不顯著，而更細(xì)的縱向分辨率根本沒(méi)有幫助。所以不清楚該怎么辦。

解決方案的步驟

客戶求助我們的時(shí)候，我們開(kāi)始介入了。因?yàn)樵谳^長(zhǎng)的腳本中可能會(huì)忽略一些重要的細(xì)節(jié)，所以我們首先對(duì)腳本進(jìn)行了徹底的簡(jiǎn)化，刪除了與問(wèn)題無(wú)關(guān)的所有細(xì)節(jié)。的確，在此之后，數(shù)字問(wèn)題仍然存在，但可以肯定，這個(gè)問(wèn)題必須是一個(gè)非常基本的問(wèn)題，而不是腳本中一些被忽略的細(xì)節(jié)的結(jié)果。這絕對(duì)值得花上10到15分鐘。

我們都不喜歡做大量耗時(shí)的測(cè)試運(yùn)行。因此，我們打算修改仿真，使計(jì)算時(shí)間大大縮短。在目前的情況下，基本和非常簡(jiǎn)單的措施是從根本上減少光纖的長(zhǎng)度考慮。此外，我們?cè)谝欢ǔ潭壬辖档土藱M向分辨率。結(jié)果，一次模擬運(yùn)行只需要幾秒鐘，而不是幾分鐘。這讓我們有機(jī)會(huì)更快地測(cè)試變化的影響，例如數(shù)字細(xì)節(jié)或包含物理效應(yīng)。毫無(wú)疑問(wèn)，現(xiàn)在所調(diào)查的數(shù)值誤差已經(jīng)大大降低了;仍然很容易觀察到數(shù)值誤差。

此外，我們需要更好的工具來(lái)評(píng)估問(wèn)題的嚴(yán)重性和類型。這也是相對(duì)簡(jiǎn)單的。通過(guò)幾行腳本代碼，我們定義了一個(gè)函數(shù)，該函數(shù)在特定的軌道角動(dòng)量模式下，在特定的縱向位置上計(jì)算光功率，以及一個(gè)圖中很好地展示了相關(guān)模式功率的演變的圖表。

我們還想知道這個(gè)問(wèn)題主要是與場(chǎng)幅誤差有關(guān)還是與相位誤差有關(guān)。因此，我們?yōu)槟Ｊ焦β识x了修改函數(shù)，我們將光束傳播結(jié)果的振幅與計(jì)算模式的光相位(通過(guò)模式求解器)相結(jié)合，反之亦然;這很快表明問(wèn)題主要與光學(xué)相位有關(guān)。

接下來(lái) ，我們用顏色圖定義了一個(gè)圖，顯示了光纖端相位誤差的空間分布:

正確的相位值是綠色，而紅色和白色表示不同方向的偏差。順便說(shuō)一下，外部區(qū)域的相位誤差與此無(wú)關(guān)，因?yàn)楫?dāng)距離中心15 μm時(shí)，模態(tài)振幅會(huì)變得非常小。

其實(shí)，不需要太多的腳本代碼就可以繪制出這個(gè)漂亮而有指導(dǎo)意義的圖表:

diagram 2, size_px = (600, 600):
 
"Phase Errors"
 
x: -r_max / um, +r_max / um
"x position (μm)", @x
y: -r_max / um, +r_max / um
"y position (μm)", @y
frame
hx
hy
 
phase_error(x, y, z) :=
  arg(bp_A%(x, y, z) / bp_A%(10 um, 0, z) * A_lm_xy_oam%(-l, m, lambda_s, x, y))
 
cp: color_I(0.5 + 10 * phase_error(x * um, y * um, L_f))

我們現(xiàn)在可以很快地檢查情況如何改變修改數(shù)值參數(shù)，但再次發(fā)現(xiàn)只有更高的橫向空間分辨率有幫助  ，但其實(shí)甚至沒(méi)有幫助太多。在一段時(shí)間里，它看起來(lái)像一個(gè)很難解決的問(wèn)題，沒(méi)有一個(gè)好的解決方案。對(duì)于客戶來(lái)說(shuō)，僅僅使用更高的數(shù)值分辨率并不是一個(gè)實(shí)用的解決方案。

現(xiàn)在到了比較困難的部分，需要仔細(xì)的觀察和相信我們的直覺(jué)，如下:

• 我們用LP模式代替軌道角動(dòng)量模式做了類似的測(cè)試。在那里，數(shù)值誤差要小得多;在這種情況下，幾乎沒(méi)有人為的耦合。這一觀察證實(shí)了先前的懷疑，即問(wèn)題與數(shù)值網(wǎng)格缺乏徑向?qū)ΨQ性有關(guān)。這個(gè)想法基本上是徑向?qū)ΨQ對(duì)于軌道角動(dòng)量模是重要的(但不是LP模)，而數(shù)值網(wǎng)格(只考慮一個(gè)平面)當(dāng)然是矩形的。

• 我們也再次查看了相位誤差的圖表(見(jiàn)上面)。我們想知道有多少問(wèn)題顯然是從核心包層邊界開(kāi)始的。現(xiàn)在基本思想確定了:假定光纖是階躍指數(shù)光纖，即從芯指數(shù)到包層指數(shù)有一個(gè)急劇的轉(zhuǎn)變。當(dāng)您在我們的矩形網(wǎng)格上描述這樣一個(gè)邊緣鋒利的圓形結(jié)構(gòu)時(shí)，當(dāng)然您得到的不是一個(gè)完美的圓形，而是圓形周圍或多或少明顯的結(jié)構(gòu)。因此，不難想象這些結(jié)構(gòu)會(huì)導(dǎo)致相反環(huán)流的OAM模態(tài)之間的人工模態(tài)耦合。

• 一旦認(rèn)識(shí)到以上這一點(diǎn)，就很容易取得進(jìn)一步的進(jìn)展:只需嘗試一個(gè)具有更平滑的核心包層界面的折射率剖面，它在矩形網(wǎng)格上看起來(lái)更圓。我們只是使用了一個(gè)高階超高斯函數(shù)(例如40,60，甚至80)，它非常類似于一個(gè)矩形剖面，但有一些平滑的過(guò)渡。的確，現(xiàn)在的數(shù)值誤差比以前小得多，即使我沒(méi)有使用特別精細(xì)的網(wǎng)格分辨率，所以問(wèn)題解決了。

分析了這么多，這個(gè)特殊問(wèn)題的結(jié)論是，對(duì)于數(shù)值光束傳播，不應(yīng)該使用階躍折射率剖面，而應(yīng)該使用至少有一點(diǎn)平滑的剖面:如果僅用數(shù)值網(wǎng)格中的幾個(gè)點(diǎn)就可以對(duì)從芯層到包層的過(guò)渡進(jìn)行采樣，這就足夠了。這樣的折射率曲線更加真實(shí)，因?yàn)樵诠饫w拉伸過(guò)程中的擴(kuò)散無(wú)論如何都不允許理想的急劇轉(zhuǎn)變。

總結(jié)

以下是我們分析這個(gè)案例的簡(jiǎn)短總結(jié)。當(dāng)您處理這些數(shù)字問(wèn)題時(shí)，可以考慮以下幾點(diǎn):

• 首先刪除所有可能與問(wèn)題無(wú)關(guān)的細(xì)節(jié)。這就避免了在各個(gè)方面排查而花費(fèi)大量時(shí)間的風(fēng)險(xiǎn)。

• 試著在一個(gè)需要更少計(jì)算時(shí)間的情況下重現(xiàn)這個(gè)數(shù)值問(wèn)題。這樣，您可以在一個(gè)小時(shí)內(nèi)嘗試更多的事情。

• 花一點(diǎn)時(shí)間來(lái)創(chuàng)建問(wèn)題分析的有用工具——例如，顯示關(guān)鍵的數(shù)字或一些有指導(dǎo)意義的圖表。這樣，您就可以更容易地使用下面的測(cè)試運(yùn)行。

• 試著利用你的物理直覺(jué)，而不是把這個(gè)問(wèn)題當(dāng)成純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)考慮。這可能會(huì)建議進(jìn)行額外的測(cè)試，排除某些解釋，確認(rèn)其他解釋，這樣您就會(huì)越來(lái)越接近問(wèn)題的核心。這可能是最困難的地方，但我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)這是取得進(jìn)步的關(guān)鍵一步。